Lý thuyết dàn

Ta có thể định nghĩa thứ tự toàn phần theo dàn như sau

{ a ∨ b , a ∧ b } = { a , b } {\displaystyle \{a\vee b,a\wedge b\}=\{a,b\}} for all a, b.

Ta viết a ≤ b khi và chỉ khi a = a ∧ b {\displaystyle a=a\wedge b} . Do đó tập sắp thứ tự toàn phần là dàn phân phối.

Thứ tự toàn phần hữu hạn

Lý thuyết phạm trù

Tập sắp thứ tự toàn phần lập thành phạm trù con đủ (full subcategory) của phạm trù của các tập hợp sắp thứ tự riêng phần, trong đó cấu xạ là các ánh xạ bảo toàn thứ tự, tức là ánh xạ f sao cho nếu a ≤ b thì f(a) ≤ f(b).

Song ánh giữa hai tập sắp thứ tự toàn phần mà bảo toàn thứ tự thì được gọi là đẳng cấu trong phạm trù này.

Tô pô thứ tự

Cho bất kỳ tập hợp sắp thứ tự toàn phần X, ta có thể định nghĩa các khoảng mở (a, b) = {x : a < x và x < b}, (−∞, b) = {x : x < b}, (a, ∞) = {x : a < x} và (−∞, ∞) = X. Ta có thể dùng các khoảng mở này để định nghĩa tô pô trên bất kỳ được sắp, hình thành nên tô pô thứ tự.

Khi có nhiều hơn một thứ tự được dùng trên cùng một tập hợp, ta cần nói rõ về tô pô thứ tự được cảm sinh bởi thứ tự nào. Ví dụ chẳng hạn, nếu N là tập các số tự nhiên, < là nhỏ hơn và > là lớn hơn, thì ta sẽ nhắc tới tô pô thứ tự trên N cảm sinh bởi < và tô pô thứ tự trên N cảm sinh bởi > (trong trường hợp này chúng là một, nhưng trong tổng quát thì sẽ không luôn như thế).

Tô pô thứ tự cảm sinh bởi thứ tự toàn phần có thể chứng minh là không gian chuẩn tắc.

Tính đầy đủ

Tập sắp thứ tự toàn phần được gọi là đầy đủ nếu mọi tập con không rỗng có cận trên thì sẽ có cận trên nhỏ nhất. Ví dụ chẳng hạn, tập các số thực R đầy đủ nhưng tập các số hữu tỉ Q thì không. Bên cạnh đó, một số khái niệm của tính đầy đủ không còn đúng khi bị thu hẹp tập hợp. Ví dụ chẳng hạn, trên tập các số thực có một tính chất của quan hệ ≤ là mọi tập con không rỗng S của R có cận trên thuộc R sẽ có cận trên nhỏ nhất (hay còn gọi là supremum) thuộc R. Tuy nhiên đối với số hữu tỉ, giá trị supremum không nhất phải là số hữu tỉ, do đó tính chất này không còn đúng khi thu hẹp quan hệ ≤ về các số hữu tỉ.

Có một số kết quả liên hệ tính chất của tô pô thứ tự với tính đầy đủ của X:

• Nếu tô pô thứ tự trên X có tính liên thông, thì X đầy đủ.
• X liên thông dưới tô pô thứ tự khi và chỉ khi nó đầy đủ và không có khe hở (gap) nào trong X (khe hở tức là cho hai điểm a và b thuộc X với a < b thì không tồn tại c thoả mãn a < c < b.)
• X đầy đủ khi và chỉ khi mọi tập bị chặn và đóng dưới tô pô thứ tự có tính compact.

Tập sắp thứ tự toàn phần (cùng với tô pô thứ tự của nó) là dàn đầy đủ và compact. Các ví dụ ba gồm khoảng đóng của các số thực, chẳng hạn như khoảng đơn vị [0,1], và đường số thực mở rộng. Có các phép đồng phôi bảo toàn thứ tự giữa các ví dụ này.

Tổng của các thứ tự

Cho bất kỳ hai thứ tự toàn phần không giao nhau ( A 1 , ≤ 1 ) {\displaystyle (A_{1},\leq _{1})} và ( A 2 , ≤ 2 ) {\displaystyle (A_{2},\leq _{2})} , có thứ tự tự nhiên ≤ + {\displaystyle \leq _{+}} trên tập A 1 ∪ A 2 {\displaystyle A_{1}\cup A_{2}} , được gọi là tổng của hai thứ tự và đôi khi được ký ký hiệu là A 1 + A 2 {\displaystyle A_{1}+A_{2}} :

Cho x , y ∈ A 1 ∪ A 2 {\displaystyle x,y\in A_{1}\cup A_{2}} , x ≤ + y {\displaystyle x\leq _{+}y} đúng khi và chỉ khi một trong ba điều kiện sau được thoả mãn:

1. x , y ∈ A 1 {\displaystyle x,y\in A_{1}} và x ≤ 1 y {\displaystyle x\leq _{1}y}
2. x , y ∈ A 2 {\displaystyle x,y\in A_{2}} và x ≤ 2 y {\displaystyle x\leq _{2}y}
3. x ∈ A 1 {\displaystyle x\in A_{1}} và y ∈ A 2 {\displaystyle y\in A_{2}}

Theo trực giác, có nghĩa là các phần tử của tập thứ hai nằm trên các phần tử của tập thứ nhất.

Tổng quát hơn, nếu ( I , ≤ ) {\displaystyle (I,\leq )} là tập chỉ số sắp thứ tự toàn phần, và với mỗi i ∈ I {\displaystyle i\in I} , cấu trúc ( A i , ≤ i ) {\displaystyle (A_{i},\leq _{i})} có thứ tự tuyến tính, và các A i {\displaystyle A_{i}} không giao nhau đôi nhau, thì thứ tự toàn phần tự nhiên trên ⋃ i A i {\displaystyle \bigcup _{i}A_{i}} được định nghĩa bởi

Cho x , y ∈ ⋃ i ∈ I A i {\displaystyle x,y\in \bigcup _{i\in I}A_{i}} , x ≤ y {\displaystyle x\leq y} đúng khi:

1. Tồn tại i ∈ I {\displaystyle i\in I} với x ≤ i y {\displaystyle x\leq _{i}y}
2. hoặc tồn tại i < j {\displaystyle i<j} thuộc I {\displaystyle I} với x ∈ A i {\displaystyle x\in A_{i}} , y ∈ A j {\displaystyle y\in A_{j}}

Tính quyết định được

Lý thuyết logic bậc nhất của các thứ tự toàn phần có tính quyết định được, tức là có thuật toán quyết định xem liệu một mệnh đề bậc nhất có đúng cho mọi thứ tự toàn phần. Sử dụng tính dẫn xuất được trong S2S, lý thuyết monadic bậc hai của các thứ tự toàn phần đếm được cũng quyết định được.[14]